Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Homogene Einheit/Homöomorphie/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist ${}{\mathfrak {p}}_{0}:={\mathfrak {p}}\cap R_{0}$ ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei ${}g$ eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich ${}{\mathfrak {p}}$ aus ${}{\mathfrak {p}}_{0}$ rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von ${}{\mathfrak {p}}$, die ja das Ideal festlegen, gleich

${}{\mathfrak {p}}\cap H={\left\{h{\text{ homogen}}\mid {\text{ es gibt }}i\in \mathbb {Z} ,j\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {p}}_{0}\right\}}\,.$

Dabei ist die Inklusion ${}\subseteq$ klar, da man ${}i$ und ${}j$ so wählen kann, dass der Grad von ${}g^{i}h^{j}$ gleich ${}0$ wird. Wenn umgekehrt ${}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {p}}_{0}$ ist, so ist zunächst ${}h^{j}\in {\mathfrak {p}}$ und wegen der Primeigenschaft dann auch ${}h\in {\mathfrak {p}}$. Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal aus ${}R_{0}$ und wir betrachten das von

${\left\{h{\text{ homogen}}\mid {\text{ es gibt }}i\in \mathbb {Z} ,j\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {q}}\right\}}$

erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz ${}R_{+}$, da es nicht ${}g$ enthält, da ${}{\mathfrak {q}}$ nicht die ${}1$ enthält. Wenn ${}h_{1}h_{2}$ zu dieser Menge gehört, so ist ${}g^{i}h_{1}^{j}h_{2}^{j}\in {\mathfrak {q}}$ für gewisse ${}i,j$ und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als

${}{\left(g^{i}h_{1}^{j}h_{2}^{j}\right)}^{n}={\left(g^{a}h_{1}^{b}\right)}{\left(g^{c}h_{2}^{d}\right)}\,$

derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad ${}0$ haben. Dann muss ein Faktor zu ${}{\mathfrak {q}}$ gehören und somit ${}h_{1}$ oder ${}h_{2}$ zu der angegebenen Menge.

Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen ${}D_{+}(f)$ bzw. ${}D(f)$ zu homogenen Elementen (vom Grad ${}0$) jeweils eine Basis der Topologie bilden, dass das Urbild von ${}D(f)$ gleich ${}D_{+}(f)$ ist und dass ${}D_{+}(f)=D_{+}(fg^{j})$ ist.

Zur bewiesenen Aussage