Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis

Beweis

Wir argumentieren bei einer fixierten Knotenmenge absteigend über die Kantenmenge. Für einen vollständigen Graphen ist die Aussage richtig. Wir müssen zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn man aus einem Graphen, für den die Aussage gilt, eine Kante herausnimmt. Es sei also ${}G$ ein Graph, für den es einen Hamiltonkreis gibt, und es sei ${}L=\{x,y\}$ die Kante, die wir herausnehmen. Es sei ${}H$ der verkleinerte Graph. Wenn es in ${}G$ einen Hamiltonkreis gibt, in dem ${}L$ nicht vorkommt, so ist dies direkt ein Hamiltonkreis für ${}H$. Es sei also (alle ${}\sim$ beziehen sich auf ${}G$)

${}x=v_{1}\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{n-1}\sim v_{n}=y\,$

mit ${}n={\#\left(V\right)}$ ein Hamiltonkreis von ${}G$. Wir betrachten die Mengen

${}A={\left\{v_{i}\mid x{\text{ und }}v_{i+1}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,$

und

${}B={\left\{v_{i}\mid y{\text{ und }}v_{i}{\text{ sind benachbart}}\right\}}\,.$

Dabei ist (in der Definition von ${}A$) ${}v_{n+1}$ als ${}v_{1}$ zu interpretieren und die Nachbarschaften beziehen sich auf ${}H$. Aufgrund der Voraussetzung über die Grade (${}x$ und ${}y$ sind nicht adjazent und ${}A$ ist so groß wie ${}N(x)$) ist

${}{\#\left(A\right)}+{\#\left(B\right)}\geq n\,.$

Das Element ${}y$ gehört nicht zur Vereinigung ${}A\cup B$, da ein Knotenpunkt nicht mit sich selbst benachbart ist. Daher gibt es nach der Siebformel ein Element

${}v_{k}\in A\cap B\,.$

Es gibt also die Verbindungskanten ${}\{x,v_{k+1}\}$ und ${}\{y,v_{k}\}$ und somit den Hamiltonkreis

${}x\sim v_{2}\sim \ldots \sim v_{k-1}\sim v_{k}\sim y\sim v_{n-1}\sim \ldots \sim v_{k+1}\,,$

der ohne die Kante ${}L$ auskommt und daher ein Hamiltonkreis in ${}H$ ist.

Zur bewiesenen Aussage