Graph einer Funktion/Bogenlänge/Fakt/Beweis

Beweis

Mit der Länge des Graphen ist die Länge der durch ${}x\mapsto g(x)=(x,f(x))$ definierten Kurve gemeint. Die Ableitung dieser Kurve ist ${}g'(x)=(1,f'(x))$. Daher ist die Länge dieser Kurve nach Fakt gleich

${}L=\int _{a}^{b}\Vert {g'(x)}\Vert \,dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dt\,.$

Zur bewiesenen Aussage