Gruppe/Elementordnung/Z mod d/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}g$ im Bild eines Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

liegt, so liegt ${}g$ insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung ${}\leq d$ und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von ${}g$ ebenfalls ${}\leq d$. Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen ${}d$, für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.

Es sei umgekehrt ${}d$ die Ordnung von ${}g$. Der kanonische Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$

besitzt den Kern ${}\mathbb {Z} d$. Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

und ${}g$ gehört dabei zum Bild.

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