Es seien Θn{\displaystyle {}\Theta _{n}} die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen φ{\displaystyle {}\varphi } und ψ{\displaystyle {}\psi } bewirken. Sei x∈kern(dn+1){\displaystyle {}x\in \operatorname {kern} \left(d_{n+1}\right)}. Dann ist
Somit ist die Klasse von (φn−ψn)(x){\displaystyle {}(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)} in Hn(G∙){\displaystyle {}H^{n}(G_{\bullet })} gleich 0{\displaystyle {}0} und φn(x)=ψn)(x){\displaystyle {}\varphi _{n}(x)=\psi _{n})(x)}.