Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}\Theta _{n}$ die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen ${}\varphi$ und ${}\psi$ bewirken. Sei ${}x\in \operatorname {kern} \left(d_{n+1}\right)$. Dann ist

${}{\begin{aligned}(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)&=(e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1})(x)\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))+\Theta _{n}(d_{n+1}(x))\\&=e_{n}(\Theta _{n-1}(x))\\&\in \operatorname {bild} {\left(e_{n}\right)}.\end{aligned}}$

Somit ist die Klasse von ${}(\varphi _{n}-\psi _{n})(x)$ in ${}H^{n}(G_{\bullet })$ gleich ${}0$ und ${}\varphi _{n}(x)=\psi _{n})(x)$.

Zur bewiesenen Aussage