Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Textabschnitt

Häufig wird gesagt, dass es in der Algebra um die Lösbarkeit und die Lösungen von Gleichungen geht.

Satz

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann besitzen zu je zwei Gruppenelementen ${}a,b\in G$ die beiden Gleichungen

$a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$

eindeutige Lösungen ${}x,y\in G$.

Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit ${}a^{-1}$ (bzw. mit ${}a$) von links folgt, dass nur

${}x=a^{-1}\circ b\,$

als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.

$\Box$

Bemerkung  

Im Aufbau des Zahlensystems spielt das Bestreben eine wichtige Rolle, Gleichungen eines bestimmten Typs lösbar zu machen. So erklärt sich der Übergang von ${}\mathbb {N}$ nach ${}\mathbb {Z}$ dadurch, Gleichungen der Form

$a+x=b{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {N} ,$

lösen zu können, und der Übergang von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}\mathbb {Q}$ dadurch, Gleichungen der Form

$ax=b{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Z} ,\,a\neq 0,$

lösen zu können. Das entspricht dem Übergang vom Monoid ${}(\mathbb {N} ,0,+)$ zur Gruppe ${}(\mathbb {Z} ,0,+)$ und dem Übergang vom Monoid ${}(\mathbb {Z} \setminus \{0\},1,\cdot )$ zur Gruppe ${}(\mathbb {Q} \setminus \{0\},1,\cdot )$.