Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt/Beweis
Beweis
Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
![{\displaystyle {}[x][y]=[xy]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee7d390725ad259f890e1cbcc21f15314bf65a9)
gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für und zu zeigen, dass ist. Nach Voraussetzung können wir und mit schreiben. Damit ist
![{\displaystyle [x]=[x']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba92678b458db513337e2c34a4c42bd08006bf2)
![{\displaystyle [y]=[y']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b82abf5456418e955885962b2e60b224e8dd82a)
![{\displaystyle {}[xy]=[x'y']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4abdb835196fa2640a5dc3ca0542374c36afd05)
Somit ist . Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.