Gruppe/Potenzgesetze/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt aus Aufgabe, da ${}K\setminus \{0\}$ eine Gruppe ist. (2). Bei ${}n\in \mathbb {N}$ ist die linke Gleichheit eine Definition und die Behauptung folgt aus

${}{\left(a^{-1}\right)}^{n}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}a\right)}^{n}=1^{n}=1\,.$

Daraus folgt auch die Aussage für negatives ${}n$. Für (3), (4) siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage