Gruppenaxiome/Eindeutigkeit des neutralen Elementes/Beispiel

In einer Gruppe ist das neutrale Element, das es aufgrund der Definition einer Gruppe geben muss, eindeutig bestimmt. Mathematisch wird dies so bewiesen: Es sei das neutrale Element der Gruppe, und sei ein weiteres Element, das ebenfalls die Eigenschaft des neutralen Elements erfüllt, d.h. es gilt für alle . Dann gilt einerseits , da neutrales Element ist, und andererseits , da auch neutrales Element ist. Also ist insgesamt und und stimmen überein.

Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes kann man als den Ausdruck

ansetzen, und die obige mathematische Argumentation bedeutet, dass der Ausdruck aus den Gruppenaxiomen folgt, also die Folgerungsbeziehung

vorliegt.