Wir betrachten die beiden surjektiven
Gruppenhomomorphismen
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und
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Es ist
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![{\displaystyle {}\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\subseteq \mathbb {Z} \cdot 4=\operatorname {kern} \varphi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44376657827a9e3ee8f566da5fd49d74d3ee1758)
Daher gibt es nach
dem Homomorphiesatz
einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
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der mit den Restabbildungen verträglich ist. Dieser bildet den Rest der Zahl bei Division durch
auf den Rest bei Division durch
ab. Der Satz beinhaltet insbesondere die Aussage, dass dieser letztere Rest allein vom ersten Rest abhängt, nicht von der Zahl selbst.
Wenn man hingegen
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und
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betrachtet, so ist
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![{\displaystyle {}\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\not \subseteq \mathbb {Z} \cdot 5=\operatorname {kern} \varphi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2412ee35f06b5f6fe3afa5cc9697fdd948e015d9)
und es gibt keine natürliche Abbildung
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Beispielsweise haben
, die alle modulo
den Rest
haben, modulo
die Reste
.