Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Restklassengruppen von Z/Beispiel

Wir betrachten die beiden surjektiven Gruppenhomomorphismen

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(4)$

und

$\psi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(12).$

Es ist

${}\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\subseteq \mathbb {Z} \cdot 4=\operatorname {kern} \varphi \,.$

Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {Z} /(12)\longrightarrow \mathbb {Z} /(4),$

der mit den Restabbildungen verträglich ist. Dieser bildet den Rest der Zahl bei Division durch ${}12$ auf den Rest bei Division durch ${}4$ ab. Der Satz beinhaltet insbesondere die Aussage, dass dieser letztere Rest allein vom ersten Rest abhängt, nicht von der Zahl selbst.

Wenn man hingegen

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(5)$

und

$\psi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(12)$

betrachtet, so ist

${}\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\not \subseteq \mathbb {Z} \cdot 5=\operatorname {kern} \varphi \,$

und es gibt keine natürliche Abbildung

$\mathbb {Z} /(12)\longrightarrow \mathbb {Z} /(5).$

Beispielsweise haben ${}1,13,25,37,49$, die alle modulo ${}12$ den Rest ${}1$ haben, modulo ${}5$ die Reste ${}1,3,0,2,4$.