Gruppenhomomorphismus/Kern ist Normalteiler/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt (2). Es sei also ${}x\in G$ beliebig und ${}k\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist

${}\varphi {\left(xhx^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (h)\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)e_{H}\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (x)^{-1}=e_{H}\,,$

also gehört ${}xhx^{-1}$ ebenfalls zum Kern.

Zur bewiesenen Aussage