Gruppenhomomorphismus/Kern ist Untergruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ ist ${}e_{G}\in \operatorname {kern} \varphi$. Seien ${}g,g'\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist

${}\varphi (gg')=\varphi (g)\varphi (g')=e_{H}e_{H}=e_{H}\,$

und daher ist auch ${}gg'\in \operatorname {kern} \varphi$. Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun ${}g\in \operatorname {kern} \varphi$ und betrachte das inverse Element ${}g^{-1}$. Nach Fakt ist

${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}=e_{H}^{-1}=e_{H}\,,$

also auch ${}g^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$.

Zur bewiesenen Aussage