Gruppenhomomorphismus/R nach C/e^it/Kern und Bild/Beispiel

Betrachte die analytische Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto e^{{\mathrm {i} }t}=\cos t+{\mathrm {i} }\sin t.$

Aufgrund des Exponentialgesetzes (bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen) ist ${}e^{{\mathrm {i} }(t+s)}=e^{{\mathrm {i} }t}e^{{\mathrm {i} }s}$. Daher liegt ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe ${}(\mathbb {R} ,+,0)$ in die multiplikative Gruppe ${}({\mathbb {C} }^{\times },\cdot ,1)$ vor. Wir bestimmen den Kern und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen ${}t$ bestimmen, für die

$\cos t=1\,\,{\text{ und }}\,\,\sin t=0$

ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn ${}t$ ein ganzzahliges Vielfaches von ${}2\pi$ ist. Der Kern ist also die Untergruppe ${}2\pi \mathbb {Z}$. Für einen Bildpunkt gilt ${}\vert {e^{{\mathrm {i} }t}}\vert =\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$, sodass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, sodass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist.