Gruppenoperation/Nicht linear/Addition rechts oben in p/Abstieg/Beispiel

Es sei ${}S$ ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik ${}p$ und sei ${}S[u,v]$ der Polynomring in zwei Variablen über ${}S$, wodurch das triviale Vektorbündel

$Y\times {\mathbb {A} }^{2}=\operatorname {Spec} {\left(S[u,v]\right)}\longrightarrow Y=\operatorname {Spec} {\left(S\right)}$

über ${}\operatorname {Spec} {\left(S\right)}$ beschrieben wird. Wir betrachten den durch

$u\longmapsto u+v^{n},\,v\longmapsto v,$

beschriebenen ${}Y$-Automorphismus ${}\theta$ von ${}Y\times {\mathbb {A} }^{2}$ mit fixiertem ${}n$. Bei ${}n\geq 2$ ist dies kein Vektorbündelisomorphismus. Wegen ${}\theta ^{i}(u)=u+iv^{n}$ ist die Ordnung dieses Automorphismus gleich ${}p$. Dieser Automorphismus gibt also Anlass zu einer nicht-linearen Operation von ${}H=\mathbb {Z} /(p)$ auf dem trivialen Bündel vom Rang zwei (zu den invarianten Polynomen gehört neben ${}v$ auch $\prod _{i=0}^{p-1}(u+iv^{n})$.). Wenn zusätzlich ${}H$ fixpunktfrei auf ${}Y$ operiert mit dem Quotienten ${}X$ (sodass also

$\varphi \colon Y\longrightarrow X$

étale ist; solche Beispiele gibt es), so steigt ${}{\mathbb {A} }_{Y}^{2}$ ab zu einem Schema ${}E$ über ${}X$, das aber kein Vektorbündel ist.

Im Gegensatz zu den linearen Operationen einer endlichen Gruppe lässt sich dieser Typ auch deformieren, man denke an die von ${}g\in S$ abhängige, durch ${}u\mapsto u+gv^{n},\,v\mapsto v$, gegebene Operation.