Gruppentheorie/Alternierende Gruppe/Konstruktion/Aufgabe

Auf der Gruppe ${}S_{n}$ ist durch

${}\operatorname {sgn} (\sigma ):=\prod _{i<j}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}\,$

ein Homomorphismus nach ${}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ definiert. Sein Kern ist wieder eine Gruppe und wird mit ${}A_{n}$ bezeichnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für jede Transposition ${}\tau \in S_{n}$ gilt ${}\operatorname {sgn} (\tau )=-1$.
2. Jeder Dreizykel läßt sich als Produkt von zwei Transpositionen schreiben.
3. Die Gruppe ${}A_{n}$ wird von Dreizykeln erzeugt.

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