Gruppentheorie/Definiere Produktgruppe/Abbildungen dorthin/Aufgabe

Es seien ${}G_{1},\ldots ,G_{n}$ Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

$G_{1}\times \cdots \times G_{n}.$

b) Es sei ${}H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow G_{1}\times \cdots \times G_{n},\,x\longmapsto \varphi (x)=(\varphi _{1}(x),\ldots ,\varphi _{n}(x)),$

genau dann ein Gruppenhomomorphismus

ist, wenn alle Komponenten ${}\varphi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind.

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