Gruppentheorie/Endlich/Ordnung/Verschieden/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}G$ endlich ist, muss es unter den Potenzen zu den positiven Exponenten

$g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots$

eine Wiederholung geben, sagen wir $g^{m}=g^{n}$ mit $m<n$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit ${}g^{-m}$ und erhalten

${}g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.$

Also ist die Ordnung von ${}g$ maximal gleich ${}n-m$. Mit dem gleichen Argument kann man die Annahme, dass es unterhalb der Ordnung zu einer Wiederholung kommt, zum Widerspruch führen.

Zur bewiesenen Aussage