Gruppentheorie/Produkt von Untergruppen/Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und seien ${}U,V$ Untergruppen von ${}G$. Zeige folgende Aussagen.

1. ${}UV={\left\{uv\mid u\in U,\,v\in V\right\}}$ ist genau dann eine Gruppe, wenn ${}UV=VU$ gilt.
2. Ist ${}G$ endlich, so gilt ${}{\#\left(UV\right)}={\#\left(U\right)}\cdot {\#\left(V\right)}/{\#\left(U\cap V\right)}$.
3. Sind ${}U$ und ${}V$ echte Untergruppen von ${}G$, so gilt ${}U\cup V\neq G$.

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