Gruppentheorie/Produkt von Untergruppen/Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und seien ${}U,V$ Untergruppen von ${}G$ . Zeige folgende Aussagen.

a) ${}UV={\left\{uv\mid u\in U,\,v\in V\right\}}$ ist genau dann eine Gruppe, wenn ${}UV=VU$ gilt.

b) Ist ${}G$ endlich, so gilt ${}{\#\left(UV\right)}={\#\left(U\right)}\cdot {\#\left(V\right)}/{\#\left(U\cap V\right)}$ .

c) Sind ${}U$ und ${}V$ echte Untergruppen von ${}G$ , so gilt ${}U\cup V\neq G$ .