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Gruppentheorie/Zentrum/Eigenschaften/Aufgabe
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Es sei
G
{\displaystyle {}G}
eine
Gruppe
mit
Zentrum
Z
(
G
)
{\displaystyle {}Z(G)}
. Zeige:
G
{\displaystyle {}G}
ist genau dann
abelsch
, wenn
G
/
Z
(
G
)
{\displaystyle {}G/Z(G)}
zyklisch
ist.
Der
Index
von
Z
(
G
)
{\displaystyle {}Z(G)}
in
G
{\displaystyle {}G}
ist keine Primzahl.
Ist
G
{\displaystyle {}G}
von der Ordnung
p
q
{\displaystyle {}pq}
für zwei Primzahlen
p
{\displaystyle {}p}
und
q
{\displaystyle {}q}
, so ist
G
{\displaystyle {}G}
abelsch oder
Z
(
G
)
{\displaystyle {}Z(G)}
trivial.
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