Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweis

Satz (von Lagrange)

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe von ${}G$.

Dann ist ihre Kardinalität ${}{\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${}{\#\left(G\right)}$.

Beweis

Betrachte die Linksnebenklassen ${}gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche ${}g\in G$. Es ist

$H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$

eine Bijektion zwischen ${}H$ und ${}gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${}{\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von ${}G$, sodass ${}{\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${}{\#\left(H\right)}$ sein muss.

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