Höhensatz/Aus Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}A,B,C$ das rechtwinklige Dreieck mit dem rechten Winkel an ${}C$ und es sei ${}D$ der Höhenfußpunkt von ${}C$ auf der durch ${}A$ und ${}B$ gegebenen Geraden. Wegen der Rechtwinkligkeit liegt dieser zwischen ${}A$ und ${}B$, d.h. es ist

${}d(A,B)=d(A,D)+d(D,B)\,.$

Nach dem Satz des Pythagoras (angewendet auf das rechtwinklige Dreieck $A,C,D$ mit rechtem Winkel an ${}D$) und nach dem Kathetensatz ist

${}{\begin{aligned}d(D,C)^{2}&=d(A,C)^{2}-d(A,D)^{2}\\&=d(A,D)\cdot d(A,B)-d(A,D)^{2}\\&=d(A,D)\cdot (d(A,B)-d(A,D))\\&=d(A,D)\cdot d(D,B),\end{aligned}}$

und dies ist die Aussage des Höhensatzes.

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