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Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Geodätische/Halbkreislösungen/Aufgabe/Lösung
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Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Geodätische/Halbkreislösungen/Aufgabe
Es ist
γ
′
(
t
)
=
(
s
+
r
sinh
t
cosh
t
r
cosh
t
)
′
=
r
(
cosh
t
−
sinh
t
cosh
t
−
sinh
t
cosh
t
)
=
r
(
1
cosh
t
−
sinh
t
cosh
t
)
=
r
cosh
t
(
1
−
sinh
t
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\gamma '(t)&={\begin{pmatrix}s+r{\frac {\sinh t}{\cosh t}}\\{\frac {r}{\cosh t}}\end{pmatrix}}'\\&=r{\begin{pmatrix}{\frac {\cosh t-\sinh t}{\cosh t}}\\-{\frac {\sinh t}{\cosh t}}\end{pmatrix}}\\&=r{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\cosh t}}\\-{\frac {\sinh t}{\cosh t}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {r}{\cosh t}}{\begin{pmatrix}1\\-\sinh t\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
und
γ
′
′
(
t
)
=
r
(
1
cosh
t
−
sinh
t
cosh
t
)
′
=
r
(
−
2
sinh
t
cosh
t
−
cosh
t
+
2
sinh
t
cosh
t
cosh
t
)
=
r
(
−
2
sinh
t
cosh
t
−
cosh
t
+
2
sinh
t
cosh
t
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\gamma ^{\prime \prime }(t)&=r{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\cosh t}}\\-{\frac {\sinh t}{\cosh t}}\end{pmatrix}}'\\&=r{\begin{pmatrix}{\frac {-2\sinh t}{\cosh t}}\\{\frac {-\cosh t+2\sinh t\cosh t}{\cosh t}}\end{pmatrix}}\\&=r{\begin{pmatrix}{\frac {-2\sinh t}{\cosh t}}\\{\frac {-\cosh t+2\sinh t}{\cosh t}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Wegen
2
r
cosh
t
⋅
r
cosh
t
⋅
(
−
1
)
r
sinh
t
cosh
t
=
−
2
r
sinh
t
cosh
t
=
γ
1
′
′
(
t
)
{\displaystyle {}{\frac {2}{\frac {r}{\cosh t}}}\cdot {\frac {r}{\cosh t}}\cdot (-1){\frac {r\sinh t}{\cosh t}}=-{\frac {2r\sinh t}{\cosh t}}=\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)\,}
stimmt die erste Gleichung. Wegen
−
1
γ
2
(
t
)
γ
1
′
(
t
)
γ
1
′
(
t
)
+
1
γ
2
(
t
)
γ
2
′
(
t
)
γ
2
′
(
t
)
=
cosh
t
r
(
−
(
r
cosh
t
)
2
+
(
r
sinh
t
cosh
t
)
2
)
=
r
(
−
1
+
sinh
t
)
cosh
t
=
r
(
−
cosh
t
+
2
sinh
t
)
cosh
t
=
γ
2
′
′
(
t
)
{\displaystyle {}{\begin{aligned}-{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}'(t)+{\frac {1}{\gamma _{2}(t)}}\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}'(t)&={\frac {\cosh t}{r}}{\left(-{\left({\frac {r}{\cosh t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {r\sinh t}{\cosh t}}\right)}^{2}\right)}\\&={\frac {r{\left(-1+\sinh t\right)}}{\cosh t}}\\&={\frac {r{\left(-\cosh t+2\sinh t\right)}}{\cosh t}}\\&=\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)\end{aligned}}}
ist auch die zweite Gleichung erfüllt.
Zur gelösten Aufgabe