Hamming-Abstand/Produktmenge/Metrik/Beispiele/Aufgabe/Lösung

a) Die Anzahl ist stets eine nichtnegative Zahl. Zwei Tupel ${}x,y\in M$ sind genau dann gleich, wenn jede ihrer Komponenten übereinstimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}d(x,y)=0$ ist. Da die (Un-)gleichheit symmetrisch ist, ist ${}d(x,y)=d(y,x)$. Zum Beweis der Dreiecksungleichung seien ${}x,y,z\in M$ vorgegeben. Wenn ${}x$ und ${}z$ in der ${}i$-ten Komponente nicht übereinstimmen, so ist ${}x_{i}\neq y_{i}$ oder ${}y_{i}\neq z_{i}$. Es ist also

${}{\left\{i\mid x_{i}\neq z_{i}\right\}}\subseteq {\left\{i\mid x_{i}\neq y_{i}\right\}}\cup {\left\{i\mid y_{i}\neq z_{i}\right\}}\,$

und daher

${}{\begin{aligned}d(x,z)&={\#\left({\left\{i\mid x_{i}\neq z_{i}\right\}}\right)}\\&\leq {\#\left({\left\{i\mid x_{i}\neq y_{i}\right\}}\right)}+{\#\left({\left\{i\mid y_{i}\neq z_{i}\right\}}\right)}\\&=d(x,y)+d(y,z).\end{aligned}}$

b) Die beiden Tupel ${}(a,a,b,c)$ und ${}(c,a,b,a)$ unterscheiden sich an der ersten und der vierten Stelle, also ist der Abstand ${}2$.

c) Die Werte der Metrik sind ganzzahlig, und in der offenen Ballumgebung mit Radius ${}2$ liegen die Elemente, die vom Mittelpunkt einen Abstand ${}<2$ haben. Der Abstand zum Mittelpunkt muss also ${}0$ oder ${}1$ sein. Die Elemente darin sind daher

$(a,a,b),\,(b,a,b),\,(c,a,b),\,(a,b,b),\,(a,c,b),\,(a,a,a),\,(a,a,c).$

Zur gelösten Aufgabe