Hauptkongruenzuntergruppe/Stufe 2/Repräsentantensystem/Matrix und Erzeuger/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (2)=\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}\,.$

   Die spezielle lineare Gruppe zum Körper mit zwei Elementen ist durch die sechs Matrizen

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}},\,$

   gegeben. Daher sind die Urbilder

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}},\,$

   ein Repräsentantensystem (beachte, dass die Determinante über ${}\mathbb {Z}$ gleich ${}1$ sein muss).

2. Wir drücken die Matrizen aus (1) mit ${}S$ und ${}T$ aus. Die Identität, ${}S$ und ${}T$ kommen direkt darin vor. Ferner ist

   ${}TS={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,,$

   ${}ST={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}TST={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\,.$

   Ein Repräsentantensystem ist also ${}\operatorname {Id} ,S,T,TS,ST,TST$.

Zur gelösten Aufgabe