Hauptteilmodul/Verknüpfung von Derivationen/Beziehung zu symmetrischem Produkt/Fakt

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra über einem Körper ${}K$ und seien ${}\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}$ Derivationen.

Dann wird unter der natürlichen Abbildung

$\operatorname {Diff} _{K}^{n}(R,R)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}}),R)$

die Hintereinanderschaltung ${}\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}$ auf das Bild des symmetrischen Produktes ${}\delta _{n}\cdots \delta _{1}$ unter der natürlichen Abbildung

$\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Der} _{K}(R,R))\cong \operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Hom} _{R}(\Omega _{R{|K}},R))\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}}),R)$

abgebildet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen