Hausdorffraum/Diagonale ist abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Wir müssen zeigen, dass das Komplement

${}W=X\times X\setminus \triangle ={\left\{(x,y)\mid x,y\in X,\,x\neq y\right\}}\,$

offen ist. Es sei also ${}(x,y)$ ein Paar mit ${}x\neq y$. Aufgrund der vorausgesetzten Hausdorff-Eigenschaft gibt es disjunkte offene Mengen ${}U,V\subseteq X$ mit ${}x\in U$ und ${}y\in V$. Es ist ${}(x,y)\in U\times V$ und nach Definition der Produkttopologie ist ${}U\times V$ eine offene Menge in ${}X\times X$. Wegen der Disjunktheit folgt aus ${}(z,w)\in U\times V$ sofort ${}z\neq w$. Also ist

${}(x,y)\in U\times V\subseteq W\,$

und ${}W$ ist die Vereinigung von solchen offenen Produktmengen, also selbst offen.

Zur gelösten Aufgabe