Hausdorffraum/Diagonale ist abgeschlossen/Aufgabe/Lösung


Wir müssen zeigen, dass das Komplement

offen ist. Es sei also ein Paar mit . Aufgrund der vorausgesetzten Hausdorff-Eigenschaft gibt es disjunkte offene Mengen mit und . Es ist und nach Definition der Produkttopologie ist eine offene Menge in . Wegen der Disjunktheit folgt aus sofort . Also ist

und ist die Vereinigung von solchen offenen Produktmengen, also selbst offen.