Hesse-Form/Symmetrische Bilinearform/Fakt/Beweis

Beweis

Die Symmetrie folgt aus dem Satz von Schwarz. Seien ${}u,v\in V$ Vektoren und

{}v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}\,.

Dann gelten unter Verwendung von Fakt, Fakt und Fakt die Gleichheiten

{}{\begin{aligned}D_{u}(D_{v}f(P))&=D_{u}((Df)_{P}(v))\\&=D_{u}((Df)_{P}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}))\\&=D_{u}(a_{1}(Df)_{P}(v_{1})+a_{2}(Df)_{P}(v_{2}))\\&=a_{1}D_{u}(D_{v_{1}}f(P))+a_{2}D_{u}(D_{v_{2}}f(P)).\end{aligned}}