Hilbertscher Nullstellensatz/C/Linearkombination mit Funktionen/Aufgabe

Es seien Polynome ${}f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gegeben, die wir als Funktionen

$f_{i}\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

auffassen. Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein weiteres Polynom und es seien

$g_{1},\ldots ,g_{k}\colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte

${}f=g_{1}f_{1}+\cdots +g_{k}f_{k}\,$

(eine Gleichung von Funktionen). Zeige, dass ${}f$ zum Radikal von ${}(f_{1},\ldots ,f_{k})$ gehört.

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