Hilbertscher Nullstellensatz/Ebene algebraische Kurven/R und C/1/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Polynome ${}X^{2}+Y^{2}$ und ${}X^{2}-Y^{3}$ und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$.

1. Gilt ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$?
2. Gilt ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$?
3. Gehört ${}X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von ${}(X^{2}+Y^{2})$ in ${}\mathbb {R} [X,Y]$?
4. Gehört ${}X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von ${}(X^{2}+Y^{2})$ in ${}{\mathbb {C} }[X,Y]$?

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