Holger Brenner/Forschung/Stabilitätseigenschaften von Syzygien-Bündeln

In diesem Forschungsschwerpunkt untersuche ich Syzygien-Bündel zu Ideal-Erzeugenden auf dem projektiven Raum (und die Einschränkung auf projektive Untervarietäten), die durch eine kurze exakte Sequenz der Form

$0\rightarrow \operatorname {Szy} (f_{1},\ldots ,f_{n})\rightarrow \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{X}(-d_{i})\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow 0$

gegeben sind, in Hinblick auf (slope-)Stabilitätseigenschaften. Obwohl einerseits die Stabilität von Vektorbündeln in Zusammenhang mit der Konstruktion von Modulräumen intensiv studiert wurde und andererseits Auflösungen von Idealen und deren Syzygien eine zentrale Rolle in der kommutativen Algebra spielen (seit Hilbert), sind hier erstaunlich wenig Resultate bekannt.

In diesem Zusammenhang konnte ich für den ${}{\mathbb {P} }^{n}$ ein kombinatorisches Kriterium für die Stabilität des Syzygien-Bündels zu einem monomialen Ideal angeben, das die Stabilität durch eine Distributionseigenschaft von Gitterpunkten ausdrückt. Der Beweis dieses Kriteriums beruht auf Klyachkos Theorie der torischen Bündel, ein zweiter Beweis wurde später von Coanda gegeben. Das Kriterium beantwortet einerseits eine Frage von A. Langer nach der Stabilität des Kerns eines vollständigen linearen Systems zu einem fixierten Grad in positiver Charakteristik (in Charakteristik null war dies bekannt). Andererseits eröffnete sich durch dieses Kriterium die Möglichkeit, die Existenz von stabilen Bündeln bei fixierten numerischen Daten dadurch nachzuweisen, dass man eine konkrete diskrete Gitterpunkt-Distribution angibt, die das kombinatorische Kriterium erfüllt. Über diesen diskreten Weg konnten Miró-Roig, Marcias, Costa einerseits und Coanda andererseits zeigen, dass das generische Syzygienbündel zu konstantem Grad semistabil ist.

Viele Phänome aus der Theorie der Vektorbündel zeigen sich schon für Syzygien-Bündel, es ist für diese aber durch ihre konkrete Darstellung häufig einfacher, gewisse Eigenschaften nachzuweisen. Im Rahmen seiner Dissertation hat A. Kaid einen Algorithmus in CoCoA implementiert, mit dem man die Stabilität eines Syzygienbündels auf einem projektiven Raum überprüfen kann. Mit Hilfe von Syzygienbündeln konnte ich ein Beispiel angeben das zeigt, dass es für stark (semi)stabil keinen Restriktionssatz à la Bogomolov geben kann.

Syzygienbündel bilden auch eine interessante Beispielklasse unter der Fragestellung, ob sie einer linearen Darstellung der (topologischen, étalen, Noris) Fundamentalgruppe entsprechen. Mit Kaid konnte ich eine explizite Beispielklasse für stabile Bündel mit einer Frobenius-Periodizität angeben, was einer Darstellung der étalen Fundamentalgruppe entspricht (in Charakteristik ${}0$ rührt dies nicht von einer solchen Darstellung her). Dies liefert ein konkretes nichttriviales Beispiel für die Riemann-Hilbert-Korrespondenz im Sinne von Emerton-Kisin. Ein geplantes und damit verwandtes Projekt soll die Trivialisierbarkeit von Bündeln durch den Frobenius in einer Familie untersuchen, was mit der (Nicht-)Eigentlichkeit von Noris Fundamentalgruppe zusammenhängt.