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Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Rechnung/2/Aufgabe/Lösung
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Holomorphe Differentialform/C/Wegintegral/Rechnung/2/Aufgabe
Die Differentialform ist exakt, eine Stammfunktion ist
f
(
z
)
=
1
3
z
3
.
{\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{3}}z^{3}\,.}
Es ist
γ
(
−
1
)
=
2
+
i
{\displaystyle {}\gamma (-1)=2+{\mathrm {i} }\,}
und
γ
(
0
)
=
0
.
{\displaystyle {}\gamma (0)=0\,.}
Daher ist nach
Fakt
∫
γ
z
2
d
z
=
f
(
γ
(
0
)
)
−
f
(
γ
(
−
1
)
)
=
f
(
0
)
−
f
(
2
+
i
)
=
−
1
3
(
2
+
i
)
3
=
−
1
3
(
8
+
12
i
−
6
−
i
)
=
−
2
−
11
i
3
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma }z^{2}dz&=f(\gamma (0))-f(\gamma (-1))\\&=f(0)-f(2+{\mathrm {i} })\\&=-{\frac {1}{3}}{\left(2+{\mathrm {i} }\right)}^{3}\\&=-{\frac {1}{3}}{\left(8+12{\mathrm {i} }-6-{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {-2-11{\mathrm {i} }}{3}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
