Homogenes Polynom/Partielle Ableitung/Dehomogenisierung/Aufgabe/Lösung

1. Da beide Prozesse linear sind, kann man sich auf Monome

   $X_{1}^{\nu _{1}}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$

   beschränken, und die Situation betrachten, dass man nach ${}X_{1}$ ableitet und nach ${}X_{2}$ dehomogenisiert. Die partielle Ableitung davon ist

   $\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},$

   die Dehomogenisierung liefert

   $\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.$

   Wenn man zuerst dehomogenisiert, so erhält man

   $X_{1}^{\nu _{1}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$

   und die partielle Ableitung ergibt ebenfalls

   $\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.$

2. Betrachte ${}X_{1}$. Die Ableitung nach ${}X_{1}$ ergibt ${}1$, dies bleibt bei Dehomogenisierung erhalten. Wenn man zuerst nach ${}X_{1}$ dehomogenisiert, so erhält man ${}1$ und die Ableitung davon ist ${}0$.

Zur gelösten Aufgabe