Hyperbel/1 bis 2/Maximale dreistufige untere Treppenfunktion/Aufgabe/Lösung

1. Da ${}g$ streng fallend ist, besitzt die maximale untere Treppenfunktion auf jedem Teilintervall den Wert von ${}g$ an der oberen Intervallgrenze. Der Flächeninhalt der maximalen unteren Treppenfunktion zu

   ${}1<x<y<2\,$

   ist also

   ${}{\begin{aligned}f(x,y)&={\left(x-1\right)}{\frac {1}{x}}+{\left(y-x\right)}{\frac {1}{y}}+{\left(2-y\right)}{\frac {1}{2}}\\&=3-{\frac {1}{x}}-{\frac {x}{y}}-{\frac {y}{2}}.\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {1}{y}}\,$

   und

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {x}{y^{2}}}-{\frac {1}{2}}\,.$

   Damit beide partiellen Ableitungen gleich ${}0$ sind, muss

   ${}{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{y}}\,,$

   also ${}y=x^{2}$ und

   ${}{\frac {x}{y^{2}}}={\frac {1}{2}}\,,$

   also ${}x={\frac {1}{2}}y^{2}$ sein. Dies ergibt für ${}x$ die Bedingung

   ${}x={\frac {1}{2}}x^{4}\,,$

   also, da ${}x\neq 0$,

   ${}x={\sqrt[{3}]{2}}=2^{\frac {1}{3}}\,$

   und damit

   ${}y=2^{\frac {2}{3}}\,$

   Der einzige kritische Punkt liegt also in

   $\left(2^{\frac {1}{3}},\,2^{\frac {2}{3}}\right)$

   vor.

   Die Hesse-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}-2x^{-3}&y^{-2}\\y^{-2}&-2xy^{-3}\end{pmatrix}}.$

   Die Determinante ist

   ${}4x^{-2}y^{-3}-y^{-4}=x^{-2}y^{-4}{\left(4y-x^{2}\right)}\,.$

   Im kritischen Punkt ist dies wegen

   ${}4\cdot 2^{\frac {2}{3}}-2^{\frac {2}{3}}=3\cdot 2^{\frac {2}{3}}>0\,$

   positiv. Also ist die Hesse-Form im kritischen Punkt negativ definit und somit liegt in diesem Punkt ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es der einzige kritische Punkt ist, und in Randpunkten kein Maximum vorliegt, da diese ja einer Unterteilung mit weniger Punkten entsprechen, liegt auch ein globales Maximum vor.

   Das Flächenintegral für diesen Punkt ist gleich

   ${}{\begin{aligned}f(2^{\frac {1}{3}},2^{\frac {2}{3}})&=3-{\frac {1}{2^{\frac {1}{3}}}}-{\frac {2^{\frac {1}{3}}}{2^{\frac {2}{3}}}}-{\frac {2^{\frac {2}{3}}}{2}}\\&=3-2^{-{\frac {1}{3}}}-2^{-{\frac {1}{3}}}-2^{-{\frac {1}{3}}}\\&=3-3\cdot 2^{-{\frac {1}{3}}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe