Hyperbolische Halbebene/Exponentialfunktion/Christoffelsymbole/Aufgabe/Lösung

Die einzige Standardableitung auf ${}\mathbb {R}$ ist ${}\partial$, deshalb verzichten wir auf einen unteren Index für die Christoffelsymbole. Nach Fakt  (2) ist für ${}\ell ,k=1,2$

${}{\tilde {\Gamma }}_{\ell }^{k}(t)=\psi _{1}'(t)\Gamma _{1\ell }^{k}(\psi (t))+\psi '_{2}(t)\Gamma _{2\ell }^{k}(\psi (t))=\Gamma _{1\ell }^{k}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{2\ell }^{k}(t,e^{t})\,.$

Mit Beispiel ergibt sich

${}{\tilde {\Gamma }}_{1}^{1}(t)=\Gamma _{11}^{1}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{21}^{1}(t,e^{t})=-e^{t}e^{-t}=-1\,,$

${}{\tilde {\Gamma }}_{1}^{2}(t)=\Gamma _{11}^{2}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{21}^{2}(t,e^{t})=e^{-t}\,,$

${}{\tilde {\Gamma }}_{2}^{1}(t)=\Gamma _{12}^{1}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{22}^{1}(t,e^{t})=-e^{-t}\,$

und

${}{\tilde {\Gamma }}_{2}^{2}(t)=\Gamma _{12}^{2}(t,e^{t})+e^{t}\Gamma _{22}^{2}(t,e^{t})=-e^{t}e^{-t}=-1\,.$

Zur gelösten Aufgabe