Hyperelliptische Gleichung/Reell/Schleife des Graphen/Holomorphes Differential/Fakt

Es sei ${}f\in \mathbb {R} [Z]$ ein reelles Polynom vom Grad ${}\geq 3$ ohne mehrfache komplexe Nullstelle und sei ${}V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Fläche. Es seien ${}a<b$ benachbarte reelle Nullstellen von ${}f$ mit ${}f(x)\geq 0$ für ${}x\in [a,b]$. Es sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow V$ der geschlossene Weg, dessen ${}z$-Koordinate linear von ${}a$ nach ${}b$ und zurück läuft und dessen ${}w$-Koordinate zuerst die positive Wurzel und dann die negative Wurzel von ${}f$ durchläuft.

Dann ist

${}\int _{\gamma }{\frac {dz}{w}}>0\,.$

Insbesondere ist ${}\gamma$ nicht nullhomotop in ${}V$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen