Hyperfläche/Kurve/Anfangstangentenvektor/Paralleles Vektorfeld/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung

F\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},

das die Bedingungnen

${}F(t)\in T_{\gamma (t)}Y\,$

für alle ${}t\in I$ ,
${}F'(t)\in N_{\gamma (t)}Y\,$

für alle ${}t\in I$ ,
${}F(t_{0})=v\,$

erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass ${}F(t)$ senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors ${}N(\gamma (t))$ steht, also

{}\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle =0\,.

Daher ist auch

{}0=\left\langle F(t),N(\gamma (t))\right\rangle '=\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle +\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle \,.

Die zweite Bedingung, dass ${}F'(t)$ im Normalenraum liegt, bedeutet

{}F'(t)-\left\langle F'(t),N(\gamma (t))\right\rangle N(\gamma (t))=0\,

für alle ${}t\in I$ , was wir mit Hilfe der vorstehenden Gleichung zu

{}F'(t)+\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))=0\,

für alle ${}t\in I$ bzw. zu

{}F'(t)=-\left\langle F(t),(N(\gamma (t)))'\right\rangle N(\gamma (t))\,

für alle ${}t\in I$ umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für ${}F$ , die zusammen mit der Anfangsbedingung ${}F(t_{0})=v$ nach Fakt eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn ${}F$ die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor.

Zur bewiesenen Aussage