Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Definition

Christoffelsymbole

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine zweifach stetig differenzierbare orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, eine zweifach stetig differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}N$ das Einheitsnormalenfeld aufgefasst auf ${}V$. Es sei ${}H={\left(h_{ij}\right)}$ die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$. Dann nennt man die punktweise über die linearen Gleichungssysteme

${}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}u}}=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{11}N\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{12}N\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}=\Gamma _{21}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{21}N\,,$

${}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}v}}=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{22}N\,,$

definierten Funktionen

$\Gamma _{ij}^{k}\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

die Christoffelsymbole zu ${}\varphi$.