Für Vektoren
ist
-
![{\displaystyle {}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle =\left\langle L_{P}(v),w\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d86acb4147fad6c79bbf14699f0918bcc3e33b)
zu zeigen. Mit
ist gemäß
Fakt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-\left\langle v,{\left(D_{w}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {\operatorname {Grad} \,h}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-\left\langle v,{\left(D_{w}{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h}\Vert }}\right)}{\left(P\right)}\cdot \operatorname {Grad} \,h(P)+{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\cdot {\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53185b5e5b76cdd60ff879113665cfaea69bff1b)
da der erste Summand senkrecht auf dem Tangentialvektor
steht. Mit Koordinatenfunktionen ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}&={\left(D_{w}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)\right)}{\left(P\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}\right)(P)\\&=\left(\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{n}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8839f1684dbc1d5b897f226d26abdbea9d2f212d)
Der obige Ausdruck ist somit gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle v,L_{P}(w)\right\rangle &=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\left\langle v,{\left(D_{w}\operatorname {Grad} \,h\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \\&=-{\frac {1}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}w_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db49df99ad6caef619dd809e5260ad3dd234d87b)
Nach
Fakt
kann man die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen, sodass man auch die Rollen von
und
vertauschen kann.