Ideal/Multiplikatives System/Zurück/Direkt/Aufgabe/Lösung

Wegen ${}1\in S$ ist für ${}f\in I$ direkt ${}1\cdot f\in I$, also ${}f\in J$. Somit umfasst ${}J$ das Ideal ${}I$ und enthält insbesondere die ${}0$. Es seien ${}f_{1},f_{2}\in J$. Dann gibt es ${}s_{1},s_{2}\in S$ mit ${}s_{1}f_{1},s_{2}f_{2}\in I$. Da ${}I$ ein Ideal ist, gehören auch ${}s_{1}s_{2}f_{1},s_{1}s_{2}f_{2}\in I$. Somit ist

${}s_{1}s_{2}(f_{1}+f_{2})=s_{1}s_{2}f_{1}+s_{1}s_{2}f_{2}\in I\,$

und wegen ${}s_{1}s_{2}\in S$ bedeutet dies, dass ${}f_{1}+f_{2}\in J$ ist. Es sei nun ${}f\in J$ und ${}r\in R$. Es gibt ein ${}s\in S$ mit ${}sf\in I$. Dann ist auch ${}rsf=srf\in I$ und somit ist auch ${}rf\in J$.

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