Idempotente Elemente/Modulo nilpotentes Element/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}f\in R$ ein Urbild von ${}e$. Da ${}e$ idempotent ist, wird ${}f^{2}-f$ auf ${}0$ abgebildet, also ist ${}f^{2}-f=c\in (n)$. Insbesondere ist ${}c^{2}=0$. Wir betrachten

${}g=f+c-2cf\,,$

das ebenfalls auf ${}e$ abgebildet wird. Es ist

${}{\begin{aligned}g^{2}&={\left(f+c-2cf\right)}^{2}\\&=f^{2}+c^{2}+4c^{2}f^{2}+2cf-4cf^{2}-4c^{2}f\\&=f^{2}+2cf-4cf^{2}\\&=f+c+2cf-4c(f+c)\\&=f+c+2cf-4cf\\&=f+c-2cf\\&=g,\end{aligned}}$

also ist ein idempotentes Urbild von ${}e$ gefunden.

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