Implizite Abbildung/Einführung/x^2+y^2/Kreise/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Da diese nur nichtnegative Werte annimmt, sind die Fasern zu ${}z\in \mathbb {R} _{-}$ leer. Die Faser zum Wert ${}0$ besteht aus dem einzigen Punkt ${}(0,0)$. Die Faser zu einem positiven Wert ${}z\in \mathbb {R} _{+}$ ist

${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=z\right\}},$

das ist der Kreis mit dem Radius ${}{\sqrt {z}}$. Zu jedem Punkt ${}P=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)$ ist die Faser (oder die Niveaumenge) durch diesen Punkt also ein Kreis ${}Z$. Eine hinreichend kleine offene Ballumgebung ${}U{\left(P,\delta \right)}$ von ${}P$ enthält nur einen Teil des Kreisbogens, der homöomorph zu einem offenen Intervall ist. Die differenzierbare Abbildung

$]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}\left(\cos t,\,\sin t\right)$

(mit geeignet gewählten Intervallgrenzen) induziert dabei eine Homöomorphie zwischen ${}]a,b[$ und dem Kreisbogenausschnitt ${}Z\cap U{\left(P,\delta \right)}$.