Implizite Abbildung/y-f(x)/Graph und Fasern/Einführung/Beispiel

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto f(x)$, eine Funktion in einer Variablen. Dazu kann man die Funktion in zwei Variablen,

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y-f(x),$

betrachten. Die Fasern von ${}\varphi$ über ${}c\in \mathbb {R}$ sind durch

${}F_{c}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=f(x)+c\right\}}\,$

charakterisiert. D.h. die Faser über ${}c$ ist einfach der Graph der durch ${}x\mapsto f(x)+c$ definierten Funktion. Alle Fasern gehen durch eine Verschiebung ineinander über, sie sind parallel zueinander. Die Punkte einer jeden Faser stehen in Bijektion mit der ${}x$-Achse, indem nämlich ${}x$ auf ${}(x,f(x)+c)$ abgebildet wird.