Implizite Abbildungen/Gleichungssysteme/Einführung/Bemerkung

Eine Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit

$\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\varphi _{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=(y_{1},\ldots ,y_{m})\,$

führt unmittelbar zu einem Gleichungssystem

$y_{1}=\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,y_{m}=\varphi _{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems ist gerade die Faser über ${}y=(y_{1},\ldots ,y_{m})$. Man kann sich fragen, wie zu gegebenem ${}y=(y_{1},\ldots ,y_{m})$ die Lösungsmenge aussieht, welche Struktur sie hat und wie sie sich mit ${}y$ verändert. Das „grobe Muster“ zeigt sich schon deutlich bei einem linearen Gleichungssystem in ${}n$ Variablen und ${}m$ Gleichungen. Dort sind bei

${}n\geq m\,$

und wenn die Gleichungen linear unabhängig sind, die Lösungsmengen ${}(n-m)$-dimensionale affine Untervektorräume des ${}\mathbb {R} ^{n}$. Insbesondere sind alle Lösungsmengen gleich und besitzen die gleiche Dimension.

Das Bestimmen der Lösungsmengen ist im Allgemeinen sehr viel schwieriger als im linearen Fall und auch gar nicht effektiv durchführbar. Dennoch vermittelt die lineare Approximation durch das totale Differential den richtigen Ansatz für das Studium allgemeiner Fasern. Eine reichhaltige Strukturaussage über die Gestalt der Faser in einem Punkt ${}P$ ist nur dann zu erwarten, wenn das totale Differential in ${}P$ surjektiv ist. In diesem Fall ist der Kern des totalen Differentials, also die Lösungsmenge des durch diese lineare Abbildung gegebenen linearen Gleichungssystems, tangential an die Faser durch ${}P$, und man kann auf hinreichend kleinen offenen Mengen eine Bijektion zwischen dem Kern und der Faser stiften.