Induktionsaufgabe/3^n \geq n^4/Aufgabe/Lösung

Induktionsanfang für ${}n=10$. Es ist

${}3^{10}=9^{5}=81\cdot 81\cdot 9\geq 6000\cdot 9\geq 10000=n^{4}\,.$

Zum Induktionsschluss sei ${}n\geq 10$. Dann ist

${}3^{n+1}=3\cdot 3^{n}\geq 3\cdot n^{4}=n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}\,.$

Andererseits ist nach der binomischen Formel

${}(n+1)^{4}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\,.$

Wir müssen

${}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}\geq n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\,$

nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils ${}{\frac {1}{2}}n^{4}$, mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus ${}n^{4}\geq 8n^{3}$ (da ${}n\geq 10$), aus ${}n^{4}\geq 12n^{2}$, da ja ${}n^{2}\geq 12$ ist, aus ${}n^{4}\geq 8n$ und aus

${}n^{4}\geq 2$.

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