Innerer Automorphismus/Ist Automorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}\kappa _{g}(xy)=gxyg^{-1}=gxg^{-1}gyg^{-1}=\kappa _{g}(x)\kappa _{g}(y)\,,$

so dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Wegen

${}\kappa _{g}(\kappa _{h}(x))=\kappa _{g}(hxh^{-1})=ghxh^{-1}g^{-1}=ghx(gh)^{-1}=\kappa _{gh}\,$

ist einerseits

${}\kappa _{g^{-1}}\circ \kappa _{g}=\kappa _{g^{-1}g}=\operatorname {Id} _{G}\,,$

so dass ${}\kappa _{g}$ bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung ${}\kappa$ ein Gruppenhomomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage