Integralgleichung/Homogen/Kern konstant/Beispiel

Wir betrachten die verschiedenen linearen eindimensionalen Integralgleichungen für den Fall, wo der Integralkern konstant gleich ${}1$ ist und im homogenen Fall, also ${}g=0$.

1. ${}\int _{a}^{b}x(t)dt=0\,.$

   Hier gibt es eine Vielzahl an Lösungsfunktionen.

2. ${}\int _{a}^{b}x(t)dt=x(s)\,.$

   Da die linke Seite nicht von ${}s$ abhängt, muss die Lösungsfunktion konstant sein, hier ist die Nullfunktion eine Lösung. Bei

   ${}b-a=1\,$

   ist aber auch jede konstante Funktion eine Lösung.

3. ${}\int _{a}^{s}x(t)dt=0\,$

   für alle ${}s$. Die Nullfunktion ist die einzige Lösung.

4. ${}\int _{a}^{s}x(t)dt=x(s)\,.$

   Die Nullfunktion ist eine Lösung. Bei ${}a=-\infty$, wenn wir das hier zulassen und mit uneigentlichen Integralen arbeiten, sind ${}ce^{t}$ Lösungen.