Integration/Abzählbare nichtnegative Summe/Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und sei

$f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Zeige, dass

${}\int _{M}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\,d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,$

gilt.

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