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Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt
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Substitutionsregel II
Es sei
f
:
[
a
,
b
]
⟶
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }
eine
stetige Funktion
und es sei
φ
:
[
c
,
d
]
⟶
[
a
,
b
]
,
s
⟼
φ
(
s
)
,
{\displaystyle \varphi \colon [c,d]\longrightarrow [a,b],\,s\longmapsto \varphi (s),}
eine
bijektive
,
stetig differenzierbare
Funktion
.
Dann gilt
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
=
∫
φ
−
1
(
a
)
φ
−
1
(
b
)
f
(
φ
(
s
)
)
⋅
φ
′
(
s
)
d
s
{\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{\varphi ^{-1}(a)}^{\varphi ^{-1}(b)}f(\varphi (s))\cdot \varphi '(s)\,ds\,}
Zum Beweis
,
Alternativen Beweis erstellen
![{\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bda17a8ca7ea71906b37514dd0342131a206a98)
![{\displaystyle \varphi \colon [c,d]\longrightarrow [a,b],\,s\longmapsto \varphi (s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2db86e0596260666c8bd03ae82ba3fb3d3e12a4)
