Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die Abbildung für ein geeignetes surjektiv ist. Sei dazu ein -Algebra Erzeugendensystem von . Nach der Voraussetzung über die Surjektivität der lokalen Abbildung gibt es Elemente mit und mit in . Das bedeutet für . Mit kann man alle mit dem gemeinsamen Hauptnenner ausdrücken, d.h. es ist . Damit ist die Abbildung surjektiv, da ein Erzeugendensystem im Bild liegt und da die Nenner das Bild von sind.

Wir behaupten, dass die Abbildung schon injektiv ist. Sei dazu angenommen, dass auf null geht. Dann ist es erst recht null in und es kommt von her. Wegen der lokalen Isomorphie ist also in . Da nach Voraussetzung integer ist, ist auch in .