Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die Abbildung ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ für ein geeignetes ${}f\in R$ surjektiv ist. Sei dazu ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ ein ${}K$-Algebra Erzeugendensystem von ${}S$. Nach der Voraussetzung über die Surjektivität der lokalen Abbildung gibt es Elemente ${}y_{i}=r_{i}/g_{i}$ mit ${}g_{i}\not \in {\mathfrak {m}}$ und mit ${}\varphi (y_{i})=x_{i}$ in ${}S_{\mathfrak {n}}$. Das bedeutet ${}y_{i}g_{i}=r_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$. Mit ${}f=g_{1}\cdots g_{n}$ kann man alle ${}y_{i}$ mit dem gemeinsamen Hauptnenner ${}f$ ausdrücken, d.h. es ist ${}y_{i}\in R_{f}$. Damit ist die Abbildung ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ surjektiv, da ein Erzeugendensystem im Bild liegt und da die Nenner ${}\varphi (f)^{n}$ das Bild von ${}f^{n}$ sind.

Wir behaupten, dass die Abbildung schon injektiv ist. Sei dazu angenommen, dass ${}q\in R_{f}$ auf null geht. Dann ist es erst recht null in ${}S_{\mathfrak {n}}$ und es kommt von ${}q\in R_{\mathfrak {m}}$ her. Wegen der lokalen Isomorphie ist also ${}q=0$ in ${}R_{\mathfrak {m}}$. Da ${}R$ nach Voraussetzung integer ist, ist ${}q=0$ auch in ${}R_{f}$.

Zur gelösten Aufgabe