Wir zeigen zuerst, dass die Abbildung
für ein geeignetes
surjektiv ist. Es sei dazu
ein
-Algebra Erzeugendensystem von
. Nach der Voraussetzung über die Surjektivität der lokalen Abbildung gibt es Elemente
mit
und mit
in
. Das bedeutet
für
. Mit
kann man alle
mit dem gemeinsamen Hauptnenner
ausdrücken, d.h. es ist
. Damit ist die Abbildung
surjektiv, da ein Erzeugendensystem im Bild liegt und da die Nenner
das Bild von
sind.
Wir behaupten, dass die Abbildung schon injektiv ist. Es sei dazu angenommen, dass

auf null geht. Dann ist es erst recht null in

und es kommt von

her. Wegen der lokalen Isomorphie ist also

in

. Da

nach Voraussetzung integer ist, ist

auch in

.