Integres Schema/Invertierbar/Einbettung in Funktionenkörper/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}K$ der Funktionenkörper von ${}X$ und ${}{\mathcal {K}}$ die zugehörige Garbe. Für eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ ist der Halm im generischen Punkt ${}\eta$ ein eindimensionaler ${}K$-Vektorraum. Wir fixieren einen ${}K$-Isomorphismus ${}{\mathcal {L}}_{\eta }={\mathcal {K}}_{\eta }=K$. Für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ gibt es eine natürliche Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow {\mathcal {L}}_{\eta }\longrightarrow K.$

Diese sind injektiv (vergleiche den Beweis zu Fakt) und definieren einen Untermodul von ${}{\mathcal {K}}$.

Zur bewiesenen Aussage